XIII. 노벨상교육: 수학교육(통계학 포함)(1)

노벨상교육에 관해 I에서 XVI까지의 16개의 글로 된 시리즈를 쓴다. 이 글은 그 중 열세 번째(XIII)로서 수학교수의 중요성 대해 설명한다.

XIII. 노벨상교육: 수학교육(통계학 포함)(1)

(1) 우리의 수학교육에 관한 현실의 진단

수학은 크게 순수수학과 응용수학으로 대별할 수 있다. 처음엔 순수수학이던 것도 종내에는 응용분야로 확장되게 마련이다. 어떤 수학이론은 처음에는 수학자들에게도 엉뚱하게 보이기도 한다. 우선 그 예를 들어 수학 이야기를 말해보자. 그 예를 들기전에 한 가지 부탁이 있다. 수학은 어려우므로 수식이 들어가는 예는 모두 <참고>에 설명할 테니 관심 있은 분만 읽기 바란다. 그러나 일부 <참고>는 수학에 관한 것이 아닐 수도 있다.

1) 이론 개발 초기엔 엉뚱하게 보이는 수학의 예(컴퓨터수학)

이 이야기는 나의 청소기에 어디선가 읽은 이야기이다.  이는 말도 안 될 듯한 엉뚱한 순수수학으로 시작했지만 1-2백년 후 컴퓨터 관련 응용수학으로 활용되어 인류문화를 대폭적으로 바꾼 예이다..아인슈타인 이전 학의 최대천재인  뉴턴(Newton)은  고전물리학자 최고봉이었다. 그는 또한 당대 최고의 수학자기도 했다. 그 예로 뉴턴은 라이프니쯔와는 독자적으로 수학의 미분을 발견한 분이다.

뉴턴은 영국의 최고 명문대학 중 하나인 캠브리지 대학의 수학과 학과장이었다. 영국에서는 당시에는 물론 지금도 어떤 분야의 학과장은 그 학과에서 최고의 학자가 몫이다. 학과장은 해당 분야의 발전에 커다란 영향을 미치신 분이기에 그 권위는 그 학과에서 누구도 넘볼 수 없을 정도이다. 특히 캐임브맂나 옥스포ㄷ는 최대 명문이기에 그 학과장의 학문적 영향력은 이르 말할 수 없을 정도이다. 미국도 영국만큼은 아니지만 언떤 학문의 학과장은 그 학과에서 뛰어난 학자를 다른 학교에서 모셔오거나 그 학과의 현존 교수중 뛰어난 학자가 학과장이 된다. 그러나 우리나라는 그렇지 못하다. 이 노벨상 교육 시리즈테서 앞의 어딘가에서 말했듯, 우리나에서는 학문수준에 관계 없이 학과내 교수가 돌아가며  순서를 정해 학과장을 하는 게 관례이다. 그것이면 그래도 다행인데 학문이 뛰어나면 오히려 학괒ㅇ아 도지 못할 수가 있다. 다른 교수들의 시기심이 발동하고 그런 뛰어난 사람의 영향력을 줄이고자 그런 사람이 학과장이 되는 것을 방해한다. 나도 그런 경험을 많이 했다..  즉, 어중이 떠중이도 다 학과장을 하고 그런 사람이 더 유리하니까 학문이 발달할 리 만무하다.

다시 본래 이야기로 돌아가, 뉴턴이 켐임브리찌라는 당대 최고의 대학의 최고의 수학과의 최고의 학과장이었다. 그런 그가 은퇴할 때, 어떤 후학을 수학과의 학과장으로 정해야 했다.그런데 그가 선택한 사람은 그 누구도 학고장이 되리라 예상 못한 엉뚱한 사람이었다. 그 엉뚱한 사람은  수학과의 다른 교수들이 모두 아니라고 반대할 정도로 당시로서는 말도 안되는 수학을 하고 있어서 외면받던 사람이었다. 그러나 천재는 천재를 알아보게 마련이다. 뉴턴이라는 천재는 보는 눈이 달라 그를 학과장으로 임명했던 것이다. 이 이야기를 읽은 내 기억에 의하면, 그 후임 학과장이 한 수학은 바로 컴퓨터 수학이었다. 그렇다면, 그는 아마 이 분야의 창시자로서,  2진법, 3진법, 12진법 등의 진법 관련 수학이 아닌가 추정된다.  

(부담스러우면 아래 참고들은 건너 뛰고 아래 2) 음악과 수학를 읽기 바람.)

<참고 1> 10진법: 10진법이 뭔지 간단히 설명해보자. 1에서 9가 되어 하나 더 있으면 오른쪽 첫째 자리(이하 자리는 오른쪽 자리를 의미함)는 다시  0이 되고 둘째 자리에 1이 되어 이를 10이라 한다. 10은 1이 10개 모인 묶음이 하나라는 말이다. 그 다음 다시 둘째 묶음이 1이 되면 11인데, 이는 10개의 첫 묶음 하나에 둘째 묶음을 시작하여 둘째 묶음에 하나가 있다는 의미이다. 둘째 묶음이 2이면 12가 되고 드디어 둘째 묶음이 19가 된 후 하나 도 있어 둘째 묶음이  완성되면 10개의 묶음이 2개라는 20이 된다. 이처럼 10개를 묶음으로 10, 20, 30, 90이 되고 그런 10개의 묶음이 10개 모이면 새로운 묶음 단위인 100이 되는데 이는 10개의 묶음이 10개라는 의이이다. 물론 이는 100개로 된 새로운 묶음이 1개라는 의미이기도 하다. 1,000은 100의 묶음이 10개라는 의미이기도 하고 10개 묶음이 100개란 의미이기도 하다. 어쨌건 이런 10진법에서는 10개로 된 묶음을 근거로 하여 새로운 묶음 단위로 하는 숫자 단위 계산법이다. 위에서보다 싶어 10진법에서는 각 자리에 0, 1,..., 9까지 되고 더 있으면 묶음이 완성되어 해당 자리는 0이 되고 윗자리에서 묶음 수가 증가한다.

<참고 2> 2진법: 2진법은 2개가 묶음이다. 1에서 시작하여 그게 둘이라면 2가 되지 않고 묶음이 완성되어 2의 한 묶음이란 10이 된다. 2진봅에서는 10은 2이다. 이런 2개씩의 묶음이 둘이면 2의 묶음이 2이므로 또 다른 묶음이 되어 20가 되어야 할 것 같지만 10진법에서 각 자리는 0,에서 9까지 오듯이 2진법에서도 각자리는 0과 1만 쓸 수 있어 2진법에서 20은 존재하지 못한다. 그건 상위 묶음으로 되어 100이 된다. 따라서 2진법의 100은  2개 무ㄲ음이 2개라는 의미이므로 10진법으로 표시하면 4이다. 그래서 2진법의 11은 10진법의 3이고, 111의 셋째 자리 1은 4이고 둘째 자리 1은 2이고 첫째 자리 은 1이니 111은 10진법에서 7이다. 그러면 101은 5인 건 쉽게 알 수 있을 것이다. 여러분은 1,000, 1001, 1010, 1011, 1,100, 10,000이 10진법에서 얼마인지 생각해보기바란다. 답은  각각 8, 9, 10, 11, 16이다. 이를 싑게 알 수 있는 방법으로 2진법의 1, 10, 100, 1,000, 10,000을 식으로 나타내면 다음과 같다.

        1 = 20 = 1

           10 = 21 = 2

         100 = 22 = 4

      1,000 = 23 = 8

    10,000 = 24= 16

이를 2진법의 111에 응용하면,

       111 =  22 + 21  + 20  = 7.

다른 2진법의 숫자도 각자 증용해보기 바란다.

<참고 3> Newton의 영어발음: Newton을 우리는 뉴턴이라 표기하고 발음하지만 영미에서는 누턴이라 발음한다. 턴자도 우리 발음과 아주 다르게 콧소리를 내도록 발음하며 우리나라 말엔 그런 발음이 없다. 그래서 우리 한글로는 그 발음을 표기하지 못하며, 우리식으로 턴을 발음하면 외국인은 알아듣기 어렵다. 단 한국에서 오래산 외국인은 눈치코치로 알아들을 것이데 이를 두고 알아듣는다고 하지 말기 바란다. 마찬가지로 newspaper의 발음은 누스페이퍼이고 New York의 발음은 누욕이다. 이때 r의 발음도 우리 한글로 표기하기 어렵다. 한글이 대부분의 발음을 표기할 수 있다는 주장은 잘못이다.

<참고 4> 미적분: (이 참고가 어려우면 안 읽어도 됨) 수학은 크게 순수수학과 응용수학으로 대별할 수 있다. 순수수학도 종내에는 응용분야게 있게 마련이다. 수학이론은 처음에는 수학자들에게도 엉뚱하게 보이기도 한다. 뉴턴은 물리학자이지만 당대 최고의 수학자였다. 뉴턴과 라이프니쯔는 독자적으로 미분을 발견한 분이다. 적분보다는 미분이 먼저 나와 미분을 먼저 설명하는 게 순서이지만, 일반인에게 적분을 이해시키는 게 더 용이할 것이다.

   먼저 도형의 면적을 계산하는 것을 예로 들어보자. 우리가 가로 4, 세로 6의 직사각형과 지름 6인 원의 면적을 계산하라면 각각 다음과 같다는 건 웬만한 사람은 잘 알고 있다.

    직사각형 면적 = 가로 x 세로 = 4x6 = 24

    원 면적 = 62π = 36π

위의  두 모양은 한 마디로 테두리가 규칙적인 반듯한 도형이라 그 면적을 계산하기가 쉽다. 그럼 여러분이 즐겨 먹는 사과, 수박, 오렌지 등의 잘라 생기는 단면은 불규칙할 것이다. 이런 단면은 가로와 세로를 곱하여 면적을 계산할 수 없는데, 이들 면적을 어떻게 계산하는가? 직사각형의 면적 계산 방법이 적분에 적용된다.  이 사이트에서 그림을 그릴 수 없어 나중에 다른 곳에서 그림을 그려 여기에 올리기로 하고 우선 말로 해보자. 아무리 꾸불꾸불해도 세로로 그야 말로 아주, 아주, 아주, 아주 미세하고 짜르면 그 자른 것을 현미경으로 보면 직사각형이 된다. 그래도 직사각형이 아니 되면 현미경으로도 볼 수 없을 만큼 아니 아주 미세하게 자르면 직사각형이 되고, 그래도 안되면 무한대로 계속 작게 잘라본다고 생각하자. 이렇게 자르면 아주 작은 각형이 됨을 상상할 수 있다. 이렇게 하는 데는  미분이 필요하지만 미분의 설명 대신 여기서는 설명하지 않았지만 미분의 결과가 이미 얻어진 것으로 가정하고 적분만 설명한다.  그렇게 얻어진 그림은 대충직사각형으로 보고 그 가로의 길이와 세로의 길이를 곱하면 각 미세한  대충적인 직사각형의 가로의 면적을 구할 수 있고 단면애 있는 이들 조각의 면적을 모두 모으면 전체 면적이 된다. 이는 대충직사각형들의 면적의 합이니 전체 단면의 것이니 이를 합의 면적도 대충적인 수치(근사값)이다. 야기에 극한값이라는 개념을 도입하여 사과나 기타 불규칙한 다면의 변적을 구하는 것이 적분법(구체적으로 구분적분법)이다.

2) 음악과 수학

다른 재미있는 이야기를 하나 더 하여보자. 아주 드물게 예외가 있는 것조차 의문이겠지만, 우리나라에서는 공부에 별 자산이 학생이 주로 음악, 미술 등 예능계를 전공하는 느낌이 든다. 대학에 들어가서는 그 학생들은 예외 없이 대학강의에서 수학의 수라는 글자만 들어도 알레르기(영미에서는 엘러지, allergy)가 생길 정도인데 수학과목을 수강할 생각조차 하지 않을 것이다. 그런데 내 둘째 딸이 미국에서 상위 중 상위 랭킹에 속하는 대학 중 하나를 다녔다. 그 애가 1학년 때 기숙사 룸메이트는 Olivia라는 학생인데  고등학교 때 공부도 상위 중 상위에 속하였는데 대학에서 음악과 학생으로 서작곡을 전공하였다. 그러면서 그녀는 수학을 부전공으로 하였다. 아주 어려운 수학도 수강하여 성적은 좀 낮았다지만 크게 낮지 않았다 한다. 그 룽메이트를만나봐요=ㅆ지만 왜  음악을 정공하는데  왜  수학을 부전공을 하는지를 이해하지 못하였다..  딸에 의하면, 수학이 음악에 중요하고 특히 작곡에 그러하다고 말했다. 그러려니 하였지만 딱히 그 이유를 알지 못했다.

그 후에 우연히 어떤 책을 읽었는데, 수학이 음악에 상당히 도움이 된다는 것을 알게 되었다. 그 책에 의하면, 두 소리의 파장 수의 비율이 1 : 2,  2:  3 등과 같이 정수비이면 두 음은 잘 화합하여 듣기 좋은 화성음이 되고 그렇지 못하여 1 : 2.135, 2 : 3.4과 같이 정수비가 아니면 듣기 싫은 불협화음(잡음, noise)이 된다고 하였다. 아하, 왜 세상에는 듣기 좋은 화성음이 적고 듣기 싫은 잡음이 많은가를 그 책을 통해 알겠다. 그게 음악전공자가 Olivia가 왜 수학을 부전공하즌지를 알게 되었다. 그녀를 이해하지 못한 것은 공부 못하는 학생이 예능을 전공하던 것만 주로 보아 가진 내 한국적 사고 탓이었다. 말하자면 미국에서는 소신에 의해 전공을 정하기에 공부를 아주 잘하는 학생이 음악이나 미술 등 예능을 정공한다. 그래서 좋은 음악이 그들에 의해 생산되고 좋은 미술작품이 나오는 게 아닌가 생각한다. 우리의 교포인 첼리스트 장하나가 하버드를 졸업했는데, 그녀도 음악만 잘한 게 아니라 공부도 아주 잘한 것으로 알고 있다. 

예체능계 학생선발해법: 우리도 이와 같이 음대, 미대, 체육대 등에서 전공하려는 분야뿐만 아니라 다른 공부 잘하는 사람을 많이 뽑으면 어떨까 한다. 서울대가 그나마 성적이 어느 정도 되는 좋은 학생을 예체능계에 뽑는 것으로 알고 있다. 그렇다면 다행이다.

3) 게임이론

여러분이 더러 듣는 말로서  제로썸(zero sum) 게임이란 말이 있다. 두 사람 A와 B가 노름(게임의 일종)을 한다 하자. A가 100원을 따면 B는 동일 금액인 100원을 잃는다. 이를 기호로 나타나면 A의 딴 금액은 +100원이고 B의 잃은 금액은 -100원이다.  두 사람의 금액을  합하면 합은 0이 된다. 이 걍우 두 사람의 합계를 합하면 0이 된다. 즉,  썸(sum)은 학계란 말이므로 제로썸은 합이 영이란 말이고 그런 게임을 제로썸 게임이라 한다. 주어진 돈을 두 사람에게 나눌 때도 한사람이 더 가젹다면 다른 사람이 그만큼 적게 가져가기에 두제로섬 개임이 된다.

 이런 제로 썸 게임에 제 ㅅ3자를 위한  개평이 있거나 수수료가 있거나 하면 제로썸이 되지 못한다.  강원도정선/고한, 미국의 라스베가스, 마카오 등에 가면 슬랏머시이 있는데 이길 활율보다 질 확율을 높여 제로썸이 도지 못하고 그 차이로 그 놀음 장소를 가진 기업이 돈을 번다. 그러니 고한이나 정선에 가지 말아야 하는데 거기 가서 퍠가망신한 중소기업 사장 등이 많다고 한다.

<참고 5> 기대값: 1 노름에 게평 등 딸 수 없는 이유를 말해보다. 고한에가서 슬랏머신(빠찡고)를 잡아당기면 이길 활률이 40%이고 질 확률이 60%이라 하자. 100원으로 이 게임을 하면,

    딸 금액 =  40원(=40% x 100원),

    잃을 금액=  - 60원(100원 x 60%)

    순액 = 40원 - 60원 = - 20원

이  순액을 기대값(expected value)이라 한다. 여기서는  -20원(= 40원 - 60원)이다. 기대값이 -20원이므로 이 게임을 하면 20%(20원/100원 x 100 = 20%)의 손해를 본다는 말이다. 게임마다 그렇다는 건 아니고 많은 게임을 하면 그렇게 된다. 개인적으로는 보면, 이 게임을 오래 하여 100원씩 0,000번을 하면 장기적으로 2,000원을 잃을 수 있다는 말이다. 그래서 개인적으로 볼 때 돈을 따면 그 돈을 가지고 바로 나와야 한다. 잃어도 그만 두고 작게 잃을 때 그만 두어야지 본전 생각을 하고 자꾸 하면 패가 망신을 한다. 고한에 가면 그만두지 못해 패가 망신해 버린 사람이 많다. 한 순간을 보면 게임장에서는 많은 사람이 동일게임을 하므로 게임장이 20%를 번다는 말이다. 제로썸(zero sum)에서는 기대값이 0원인데, 고한, 마카오, 라스베거스 등에서 또는 그 외의 작은 카지노에서는 제로썸이 아니다. 사기꾼 게임도 이런 것으로 기대값이 마이너스이지 제로썸이 아니다.

바둑, 장기도 게임이고  요새 젊은이의 컴퓨터 게임, 화투, 카드 모두 게임이론에서 말하는 게임이다. 이 글을 쓸 때 이세돌과 구글이 개발한 알파고라는 컴퓨터 프로그램이 한판 붙는다고 한다. 누가 이길까? 그 결과가 궁금해진다. 

게임에는 전략과 전술이 있다. 바둑의 포석이나 끝내기 등 모든 것이 전략이나 전술 중 하나이다.  잔략과 전술은 상대적이기도 하다. 큰 것은 전략이고 작은 것은 전술이라 보면된다.6.25 전쟁에서 북진통일과 같이 최종 목표는 최상위 전략이지만, 인천상륙작전은 그 자체 작은 것의 전략이고 더 큰 전략은 북진통일이므로 인천상륙작전은 남북통일의 전술이기도 하다.

정치학적 게임을 보면, 춘추전국 시대의 합종을 주장한 장의와 연횡을 주장한 소진의 주장도 일종의 게임이론이다. 맹자가 말하는 집권자의 통치술이나 처세술도 게임이다.  물론 그 게임의 수단이 심리학이면 그들의 주장이 먹히는 것을 내용을 심리학으로 연구하면 심리학이 되고, 정치적으로 연구보면 정치학이고 게임이론에서 연구보면 게임이론이 된다. 다만 소진, 장의, 맹자 등은 수학을 몰라 그걸 이론화할 수 없어서 세치 혓바닥으로 그때 그때에 따라 임기응변적(ad hoc) 방법으로 자기 생각을 설파하고 다녔을 뿐이다. 그들의 이론을 통치자가 받아 들였다면  그건 게임이론에서 보면 통치자들은 그 게임에서 장의와 소진에게 지고만 것이다. 그게 진나라 통일에 이용되었다면 진시황이 이긴 것이고 다른 마라가 진 것이다. 게임 이론 분야가 별도 있다. 아주 수학적이다. 스탠포드대학과 노스웨스턴대학에 이 분야의 대가들이 많았는데 지금도 그런지 모르겠다; 경제학에서도 게임이론을 가르친다.

여당과 야당의 늘 정치도 게임을 한다. 정치는 어느 정도 게임을 하다가 타협하는 게임이다. 그 게임은 많은 경우 경제적 파이의 낭움에 관한 내용이 많다. 그 게임이 길ㅇ러지면 국민은 피해를 본다. 우리는 그런 게임이 다른 나라에 비해서 아주 많다. 특히 선직국의 여야보다는 우리나라는 주먹, 톱 등이 동원되던 수준의 격렬한 싸움인 게 문제이다. 그걸 막아 선진국처럼 격렬한 싸움이 아니라 언어적 투표적 논쟁을 불리는 국회를 만들기 위해 국회선진화법을 만들었지만, 이 법을 사보타지 수준으로 활용하여 식물 국회로 만들었다. 그게 없으면  날치기 국회가 될 테니 국회선진화법이 없으면 다시 주먹과 톱이 동원될 것이다. 아무 것도 제대로 되지 않는 게 한국이다. 현 여당이 야당일 때 만들은 게  국회선진화법이라 하는데 그렇다면 그 당시 야당인 현제의 여당이 진 게임이었다. 그런데 애매한 국회의장이 곤혹스러운 게 이상하다. 진 사람이 그 운용을 상의하는 게 아니라 국회의장에게 운용을 잘하라고 어거지로 운용책임을 말하는 느낌이 들게 하니 참으로 한심하다.

우리 사회에 싸움이 어디 국회와 정부 사이뿐인가? 자동차 사고가 나도 명백히 잘못한 사람도 인정하지 않고 싸우려 든다. 차를 가지고 난폭운전으로 게임을 한다. 길거리에 어께가 부닥쳐도 잘못한 사람이 사과가 아니라 자기가 힘이 세다고 생각하면 오히려 덮어 씌우고 여차하면 주먹질을 하려는 게임을 한다. 그러면서 그들이 국회의원만 싸운다고 탓하는 게 우리 국민정서이다. 거리에서만 아니라 가정에서는 시댁파 며느리파가 싸우고 이제는 힘이 약한 시어머니가 대부분진다. 그뿐인가 아이가 어떤 영향을 받는지 배려 않고 부부가 싸우고 교회가 주도권을 가지료고 몽화자와 장로 등 싸우고, 절에서 각목으로 싸우고, 정당에서도 각묵으로 싸웠다. 미국교포도 그렇게 싸운 보도를 읽은 적 있다. 지역감정으로 지역 사이도 싸우고 남북한이 우리 민족을 다 말살할지도 모를 핵까지 이용해 싸움도 하려 한다. 세계 선진국국치고 어느 나라가우리 한민족처럼 같은 민족끼리 이렇게 존속과 말살의 벼랑끝 싸움을 하나? 유교교육을 그렇게 많이 받았지만 그게 무용지물이다. 아비와 자식의 서로 죽이고 형제가 서로 돈뺏고 뭐 그런 한국인이 아닌가? 공자교육을 지금도 떠받드는 나라가 우리 만한 나라가 있는가? 없다. 그렇지만 싸움이 더 많지 않은가! 

 어느 지방 시의원을 만나 이런 걸 이야기 하니 우리나라 사람은 싸우려 태어난 것 같다고 한다. 그렇지 않다는 것을 간단히 설명하면 보인이 미국서 교수하다 국내 한국인과 소통 없이 자란 두 사람의 재외 한국인을  만났는데, 그들에겐 그런 징조가 없었다. 두 사람의 예로는 충분한 증거일 수는 아니지만, 우리나라  사람이 싸우는 패를 짓기 좋아하고 팻싸움과 개별 싸움을 많이 하는 건 문화 탓이지 유전자 탓은 아니라고 본다. 여기는 교육, 특히 수학교육이야기를 쓰고 있으니 다른 글에서 싸움에 대해 더 쓰기로 하고 이만 줄인다.

4) 경제학과 수학

노동경제학에서 보면, 노동계급이 이런 전략을 쓰면 사용자인 기업 또는 정부는 저런 전략을 쓰는 것으로 보면 게임이다. 한 국가가 이런 경제정책을 쓰면 다른 나라가 이런 전략을 쓰는 건 게임이다. 우라나라 경제학자들은 수학이 약해 게임분야를 제대로 충분히 공부하는 사람이 거의 없다. 한 한국 학자가 미국인 학자와 이 분야에 중요논문을 공저로 낸 것으로 기억하는데 그 후의 활동은 잘 모르지만 크게 두각을 내는지도 못했을 것이라 추정한다. 대부분의 우리 경제학자들은 수학이 약한 게 실상이기 때문이다. 미국에서 노벨상을 타는 경제학자는 모두 수학을 석사까지 전공했거나 거의 수학의 박사과정을 공부한 사람들이다. 일부는 수학에서 성공하지 못하여 경제학을 전공한 사람들이기도 하다. 수학은 경제학에서 현실을 단순하게 하는 모델(모형)로 경제현상을 설명하는 역할을 한다. 노벨상 학자는 일부만 제외하고 그런 수학의 강자들로서 그들이 노벨상을 독차지하다시피 한다.

그런 모형에 자료를 적용해 현실을 분석해 설명하는 논문이 미국의 경제학이다. 그런 논문은 우리는 거의 100%인데, 미국에서는 경제 모형을 개발하는 논문이 그에 못지 않게 많다. 그러나 우리나라에서는 모형을 개발하는 사람이 별로 없다. 여러분이 한국ㅇ데서 경제학자라고 하는 사람들이 학계이든 정계이든 경제모형을 만들거나 그것을 이해조차 못하고 경제학자가라 불리는 사람이 거의 100%라고 보면 된다. 지금 어떤 사람은 모당의 임시대표가 독일의 경제민주화를 너무 우려 먹는다고 한 것 같은데, 그말을 말했다면 독일에서는 이런 경제 모델이 적을 뿐 아니라 그 분 역시 그런 부류에 속할 것이다.  

동업을 해도 배분문제에 게임이 이용된다. 대기업에서도 지분을 얼마나 가졌느냐에 따라 배분하는 문제로 이를 해결한다. 갑질은 바로 협상능력(bargaining power)이 우월할 때 발생한다. 대기업은 중소기업에, 집권당은 야당에, 운동 선배는 후배에게, 군의 선임자는 후인자에게 갑질을 한다. 갑은 협상능력(bargaining power)이 세서 그렇게 한다. 그래서 힘이 작은 것들은 뭉치게 된다. 개미가 그렇고 벌이 그렇다. 지역감정에 역한 ㅈ역이 그렇고 대학에서 지방인들 중 공부를 좀 하는 학생이 주로 가는 K대학이 입학할 때 K대학 정신인가 하는 훈련을 받는다고 한다. 지방엣 모이니 뭉쳐야 살기 때문이다. 그런 몽침이 그들에게 이득이 되지만 떼를 쓰는 수가 많아 사회에 손해를 끼치는 일이 더 많다.

영미를 제외한 프랑스, 독일에서는 수학이 약해 경제학자들이 영미에서 보기엔 정말 너무 쉬운 말만의 논문들만 쓴다. 위에서 말했듯, 말은 갑론을박으로 이어지게 된다. 경제 민주화로 이당 저당 가서 그거 해본다고 하는 분도 독일에서 학위를 했다하는데, 수학모형이나 통계학 프로그램 등 데이터 이용도 없는 논문일 것이다. 그런 논문은 쓰기가 쉽다. 그런 논문이 그 나라에서는 지금도 대세이고 그 나라에서는 더 했으니까 말이다. 내 분야에서도 독일과 프랑스에서 학위를 한 사람과 이야기를 해보면 아는 것에서 미국에서 한 사람에 비해 너무 부족하다. 미국에서 학위를 해도 쉬운 분야만 해온 사람은 좀 실력에 문제가 있다. 그렇지만 그렇게 해온 외국 박사가 우리나라에서는 거의 100%에 육박하니 제대로 공부한 사람의 분야는 어려워 국내에서 박사학위를 개설해도 그런 사람 밑에서 논문을 쓰지 않는다. 다만, 그런 실력자는 성질이 까다랍다느니 우리 현실에 맞지 않는다더니 하고 핑게만 대어 실력 있는 학자들은 뒤로 밀릴 수밖에 없다.

우리나라에서는 교수임용시 박사논문을 중요시한다. 그러나, 분야에 따라 조금 차이는 있지만, 미국은 박사논문은 보여 달라고도 않고 지원자 자신이 발표하고 싶은 논문만을  발표하게 하여 그 발표하는 논문의 질, 발표 중간 중간 질문을 통해 그 사람의 실력, 발표시에 교육을 할 수 있는 능력을 검증한다. 나아가 박사학위 학생과 젊은 교수들을 만나게 하여 그들이 느낀 점도 말하게 하여 그들의 의견도 반영한다. 연구잠재력과 학생을 위한 교육능력을 중시하기 때문이다. 솔직히 미국의 웬만한 대학의 박사과정은 서울대나  프랑스나 독일 대학의 박사학위과정보다 더 나은 교육을 한다. 서울대 한 교수는 미국에서 2년반만의아주 짧은 기간에 박사를 하여서 천재라는 말을 들은 것으로 기억한다. 국내에 있는 말은 그렇게 짧게하면 그런줄 안다. 그게 신호의 잘못된 부분이다. 박사학위도 박사학위 나름이지 질이 나쁜 것이 있는데, 박사학위를 하면 다 같은 줄 안다. 아무래도 우리나라의 부실 학부기간과 미국의 기간이 짧은 박사학위 과정과 내가 그의 대학을 좀 아는 것으로 미루어 부실 박사학위라 보면 된다. 최소한의 요건은 갖추고 우리나라에 구제박사가 있던 시절이라 우리나라 박사학위보다는 나았을 것이다. 그런 사람이 서울대 교수였고 그 후에 재무장관을 했다.

어떤 사람(A)는 그 교수보다그 더 나은 대학에서 그와 다른 분야에서 학위를 했는데, 1년 반 하여 박사논문에 필요한 과목을 다들어 더 들을 게 없어 논문 전 시험(premiminary exam이라 함)에 응시할까 생각하였단다. 그 시험만 통과하면 논문을 쓸 수 있었다. 논문은 6개월 정도 걸리니까 A는 그 소위 천재교수보다 6개월 빨리 박사학위를 하여 천재소리를 들을 수 있었단다. 그런데 가만히 생각하여 보니 논문이야 써 졸업이야 하겠지만 실력이 그다지 없는 듯했다 한다. 고민하다 학위과정에서 요구하지는 않지만 알면 실력이 아주 좋아질 것 같은 이웃분야, 통계학 분야 등의 과목을 골라서 추가로 1년간 듣고 여러분야 논문도 많이 읽기로 결정했다고 한다. 그 결과 실력이 굉장히 늘어 A의 학문의 깊이와 넓이를 가늠하기 쉽지 않다. 그게 그때 들은 과목과 그들 들었던 기간에 여러분야의 논문을 읽고 공부한  덕이다. 그래서 미국서 교수도 하여 영어도 좋았다. 그러나  외국 대학의 한 대학교재에 A의 논문과 이름이 나왔지만, 돌아와 보니 나이가 들어 설자리가 없었다. 그가 들은 것은 '그래서 어쨌단 말이냐(영어로, So what?)'이었다. 국내에 와 그 실력을 쓸 만한 곳이 없고 서울 근교의 지방대학에 자리를 잡았다. 그런데 연구환경이 엉망이었다. 지방대학은 지방대학이다 보니 교수의 질도 구제박사와 석사만한 교수 투성이라 서울에서 주말부부로 사는 사람이 많다보니 저녁에 어울려 술 마시는 친구수준이었다. 그래서 그도 연구는 고사하고 가진 실력도 많이 잊었다. 썩어도 준치라고 지금도 그의 분야에서는그와 비교해 나를 당할 사람이 별로 없는 것 같다. 지금은 연구를 강조하여 연구관련 보상이 늘어 연구열풍이 생기었다. 그러나 원래 질이란 게 그렇게 갑자가 느는 게 아니라 아직도 몇몇 젊은 교수가 그런 열풍이 불지만 국내 박사, 미국 박사라도 국내 대학 출신이 별루라 창의력에 한계가 있고 아주 별볼일 없는 미국 대학의 박사학위 출신일 연구 질에서는 아주 낮을 수밖에 없다. 이런 분위기가 지속되어 질 좋은 연구로 이어지기를 바란다.

5) 북한의 수소탄에 대처하는 수학

이세돌과 격동하는 알파고는 게임이론을 적용해 만든 프로그램이다. 상대가 둘 수에 따라 판을 봐 대응하는 수를 컴퓨터가 찾아내 둘 것이다. 전쟁도 넓은 의미의 게임이기에 적군이 이렇게 공격하면 아군은 저렇개 대응하는 게 바둑게임이나 다를 바 없다. 돈 대신 사람 목숨을 잃는 비극이 발생하는 게임이다. 로캐트 격추에도 게임이론이 적용된다. 북한이 핵탄두를 싫은 로케트를  이렇게 쏘면 미국은 어디서 어떤 방법으로 어느 시점에 그걸 격추한다는 것인가를 결정하는 게임이다. 북한이 예상보다 성능이 좋은 로케트를 쏘면 격추의 지점과 시점을 어디로 하고, 알라스카에서 쏘아 격추할지, 태평양의 항모에서 격추할지 등을 미국이 전략을 세우느라 지금 열심히 노력할 것이다.  스텔스비행기는 상대의 게임 전략을 세우지 못하도록 하는 한 수이고  중국은 지금 그걸 개발했고 일본도 개발했다. 이처럼 중국은 일본도 따라 잡은 부분이 많다. 미국 유학생 중 중국이 가장 많고 잘 배우고 오는 사람일수록 우대하는 게 중국이기 때문이고 때론 중국인 미국교수가 중국으로 돌아가 그 실력을 이용하기 때문이다. 그런 실력자를 배척하는 우리와 다른 결과를 낳았을 것이다. 

미국은 한발 더 나가 아마 스텔스 기술로 만든 비행기나 핵탄두를 발견할 수 있는 기술을 개발중일 것이다. 이상의 기술 및 군사적력이 모두 게임이고 바둑에서의 세돌과 알파고가 사용할 전략과 전술과 원칙적인 면에서 같다. 기술에서는 틀리겠지만 말이다. 이처럼 전략과 전술을 찾아내 이기는 방법을 찾아내는 게 개임이론이다. 북한의 수소폭탄도 그런 전략으로 개발하는데, 그들은 허위 전략도 사용하고 그 개발도 먹을 것도 없는 인민의 식량비로 개발하는 게  문제이다.

6) 통계학과 수학

1. 불확실성과 확실성: 여러분은 통계학이라 자료를 정리하여 그것의 의미를  해석하는 등으로 이해할 것이다 이런 정도의 이해를 가지면 문제인데, 우리나라에서는 이런 수준의 학자가 많다는 게 문제이다. 그러나 통계학은 그것에서 출발했지만, 그 범위가 넓어져 불확실성(uncertainty, 이를 위험, risk라고도 함)을 가진 일종의 수학이라 보면 된다. 수학은 결정성(deterministicity) 뜨는 확실성(certainty)을 가진 수를 다루는 수리분야이고, 불확실성(uncertainty)의 수를 다루는 수리분야이다. 관심 있으면 아래 예를 이용해 불확실성과 결정성을 알아 보기 바란다. 어려우면 읽지 말기 바란다.

 (예) 불확실성과 결정성: 어떤 사람(A)이 동창모임에 처음으로 나왔다. A의 나이가 30인 것은 그 모임의 누구나  잘 안다. A가 자기 아이(B)를 데리고 나왔다. 여기서의 문제는 B의 나이를 통해 A가 몇 살에 결혼했는지를 알아 맞추는 것이라 하자. B의 나이는 소수점으로 구한다 하자. 예컨대, 4.5살이면 네살 반이다.

(A) 불확실성(통계학): A는 B가 자기 아이이지만, 그 애의 나이를 아무도 몰라 물어도 알려주지 않는다. 속도 위반을 알리기 싫어서 그런다고 하자. 그래서 각자 그 애(B) 나이를 짐작하려 시도한다. 대부분 그 애의 나이가 3.0에서 5.0(즉, 세 살에서 5살까지)라고 추정한다.

(a) 평균(average): 동창이 추정한 나이의 평균을 구하니 4.2라 하자. 이 평균 4.2은 불확실성을 가진 통계치이다. 알다시피 평균이란 모든 자료를  더하여 추정한 수치의 수로 나눈 값이다.  즉,

    

         평균 = 추정한 나이의 총합/추정치의 수

통계치(statistics)란 자료를 나타내는 수치이다. 이 중 대표통계치(representive statistics)로서 진짜 수를 대표적으로 나타내고자 하는 추정치이고 흔히 대표치(representative value)라고도 한다. 이런 대표치에는 평균, 최빈치와 중앙치의 세 가지가 주로 쓰인다. 이 대표치 중 평군을 이용해 A가 결혼한 나이를 추정하면,

   

        결혼 나이 = 25.8(= 30- 4.2). 

(b) 최빈치(mode): 최빈치는 가장 많은 사람(여기서는 동창)이 추정한 통계치이다. 가령 그 아이의 나이에 대해 가장 많은 동찯을이 4.5라고 추정하면, 

        결혼 나이 = 25.5(=30- 4.5).

(c) 중앙치(median): 중앙치란 모든 동창의 추정치를 크기 순서로 한 줄로 늘어 놓았을 때 그 중간의 수이다. 동창수가 짝수이면 중간이 두 개이니 그들의 두 수의 중간을 구하면 되고 동창수가 홀수이이면 중간이 하나라 그  추정치를 사용하면 된다. 동창의 수가 홀수라서 중간을 구하니 3.9라 하자. 그러면,

        결혼 나이 =  26.1(=30- 3.9).

       위의 세 추정치는 모두 불확실성을 가진 수치이다. 전확하지 않다는 말이다.

(B) 결정성 또는 확실성(수학): 이는 확실하므로 추정할 필요가 없다. A가 자기 결혼을 26살에 했다고 알려주거나 아이(B) 나이가 정확히 4세라 말해주면 26를 결혼나이로 계산한다.

    

        결혼 나이 = 26, 또는 결혼나이 =  26(=30- 4).

우리가 초등학교부터 수학에서 배운 계산문제는 모두 이처럼 확실한 것의 계산이었다. 뉴턴이 발견한 미적분도 이런 계열이다. 뒤에서 곧 설명할 통제(control)란 부분의 것은 위 불확실성과 관련된 것이다.  더 높은 수준의 불확실성을 가진 부분이라 보면 된다. 통제부분에도 미적분이 적용되는데 수학보다 더 어렵다.

2. 불확실성과 미사일:  인공위성이나 로케트에서는 수를 많이 다루는데, 그 수는 대부분 불확실성 투성이다. 통계학이 이런 것에 어떻게 적용하는지를 알아보자. 북한의 스커트 미사일(missle, 미국 발음은 미슬임)은, 지금은 많이 개선되었다 하지만, 초기에는 어디에 떨어질지 모를 정도로 정교하지 못하였다. 실제 투하지점이 계획된 투하지점과 다른 정도가 큰 불확실성의 무기였다. 로케트도 그런 수준에서 시작해 지금은 많이 개선된 것 같다. 로케트를  쏘고도 인공위성을 쏘았다는 북한의 전략을 쓰지만 미국 군사전문가들은 그 내용을 파악하는 게 상당히 정확하다. 수학에 기초한 과학이 발달하면 불확실성이 적어 발사내용, 궤적 등을 수학적으로 또 통계수학으로 분석하면 그 진위를 파악하기 쉽기 때문이다. 그러나 불확실성 있기에 맞추는 데 시간이 걸리고 그렇다고 100% 다 맞는 건 아니다. 그러나 그런 불확실성이 제거되면 맞추는 시간도 줄고 맞추는 확률ㄷㅎ 199에 가까워진다. 그 덕에 초기의 partior랄 무기는 미사일을 요격에 불확성이 크다가 요새는 요격이 비교적 정확할 것이다. 그런 불확실성이 남아 있어 아직은 100%의 명줄율이 아니고 낮은 고도로 날아오는 cruise 미사일은 요격을 전혀 또는 거의 못할 수도 있다.

3. 인공위성과 control:  인공위성에 대해 말하면, 화성, 달, 목성 등에 인공위성은 발사하면 그게 거기로 가다가 계획된 궤도를 벗아나는 수가 있다. 왜냐하면 부품이나 기타 부위 등에 불확실한 부분이 있어 그 부분이 말썽을 일으키기 때문이다. 이때 지상에서 궤적을 수정해 주는데 그 수정하는 센터를 흔히 control tower 또는 control center 등으로 불리는데, 우리 말로는 통제부서, 통제센터, 통제탑 등으로 번역할 수 있다. 이 control을 컨트롤(한국식 발음은 콘트롤)이라 하는데 여기서는 영어로 쓰자. 불확실성(궨도이탈)으로 발생하는 문제를 control)하는 이론을 다루는 분야가 바로 고도의 통계학에서 다루고 있다. 이는 고도의 통계학이므로 너무 어려워서, 유학을 간 한국 통계학과 대학원생들은 이 분야를 피하는 게 일반적이었다. 지금은 어떤지 모르지만 지금도 그럴 것이다. 현재 최고의 이과학생이 통계학에 가지는 않기에 그렇게 추정해 본다. 그래서 더라는 상대적을 쉬운 비모수 통계학(nonparametric statistics) 등의 쉬운 분야를 골라 겨우 박사를 하는 경우가 많다. 수학에서 그러하다고 보면 된다.그러면서 미국서 박사하고 왔다고 대우를 받으려 하는 사람이 없지 않을 것이다.

인공위성의 궤적 불확실성과  관련한 여러 가지 부품이나 컴퓨터 프로그램에 발생하는 불확실성으로 인한 해결능력인 control도 약해 우리가 나로호인가 뭔가를 러시아에서 발사대를  빌려다 써도 제대로 성공하지 못하는 중요한 원인 중 하나일지도 모른다. 중국은 이런 분야가 잘 발달되어 달에도 인공위성을 독자적으로 쏠 수 있다고 본다. 중국 유학생 중 그런 엉터리 유학을 한 사람도 있지만 그렇지 않은 사람이 많을 것이다. 더욱 중요한 것은 제대로 공부해온 사람을 쉬운 분야를 해온 사람보다 더 잘 대접해 주지 않을까 생각한다. 그래서 핵심 첨단 분야에서 중국이 우리보다 앞서 있다고 본다. 더구나 중국인 중 미국의 많은 화교학자가 자발적으로 중국으로 돌아간다는 말도 조금은 중국인을 통해 듣기도 했다. 그래서 스텔스 비행기도 일본보다 먼저 만들 만큼 우리보다 과학이 크게 앞섰다.

4. 무서운 중국과 한국의 위상:  다시 말해 옛날 중국이 아니다. 인공위성에서도 달에 쏘아 올려 성공한 것을 보면 인공위서 관련 분야에서 우리보다 아주 멀리 앞서 있다. 인공위성의 발사에는 컴퓨터 기기와 그 프로그램, control분야, 부품분야 등의 많은 기술이 필요하다. 달에 인공위성을 쏘아올린 중국은 이런 분야에서 우리보다 앞섰다고 보면 된다. 일부부품은 외국에서 수입해 쓰겠지만 그 개발은 시간문제이다. 무서운 중국이란 말이다. 그런 기술이 각종 산업 등 실생활품, 첨단 상품에 적용되는 것도 시간 문제라 중국의 그런 기술과 싼 노임으로 산업을 발전시키면 우리가 머지 않아 모든  산업에 있어서 중국에 밀릴 것이다. 그래서 우리는 아시아에서도 일본과 중에 밀려 2류로, 그 후 머지 않아 베트남이나 인도에 밀리면 3류로 전락할 수 있다. 그게 생각보다 빨리 올까 걱정이다. 다만, 아직 중국의 평균국민소득이 우리에 좀 미치지 못할 뿐이지 우리보다 잘사는 지역이 아주 많다. 특히 유커니 뭐니 하는 것을 보면, 상하이 등의 상당한 중국 지경의 소득이 우리보다 크게 앞서서 그 부자 수가 우리의 부자 수보다 많다는 말이 우스게 소리가 된지 오래일 것이있다.

 4년전인가 베이찡에 갔을 때의 일이다. 베이찡에 실리콘 벨리 같은 지역이 있고 거기에 IT 기업을 지원하는 공관의 부서장을 만난 일이 있었다. 그가 "우리는 삼성 TV기술은 다  따라 잡았다."고 힘주어 말하는 것을그때 같이한 다른 동료 교수 3명과 몇 명의 학생들과 같이 들었다. 이렇게 치고 올라와 추월하는 데도 실력 없는 내 이웃 분야를 전공한 별 볼일 없는 교수 하나가 사사건건 나와 대립하는 것을 학생에게 보이기까지 했고 나는 애써 그를 무시했다. 사태가 이럼에도 우리 학계는 실력자를 왕따 시키고, 정치권은 그런 실력자가 그 실력을 발휘할 수 있도록 환경을 마련해줄 생각은 않고 맨날 자기들끼리 싸움질이다. 정말로 아, 아, 쿼바디스(이게 '주여 어디로 가야  합니까?'이라든가? 나는 기독교인도 불교인도 아님)이다.

5. 우리의 실력:문제는 이처럼 중요한 통계학에서 또는 수학, 물리학, 화학 등 많은 분야에서 교수 중 일부는 고등학교 교사 수준이거나 좀 실력 좋은 교사의 수준보다 못한 교수가 많다. 좀 나이가 든 교수라면 그 정도는 아주 심하다. 내가 근무한 대학의 통계학 한 교수는 사회과목에 응용하는 수준의 논문, 즉 경제학 데이터를 분석해 경제학에서도 미국 같으면 제대로 된 논문으로 봐주지 않을 것을 여저저기 학술지에 게재하고 있었다. 통계학 논문으로서는 창피한 일로서. 처음부터 통계학 교수의 자격이 없는 수준이다. 수학은 어떠한가? 어려운 분야를 피하다 보니 통계학이나 피장파장이다. 얼마전 신문보도에 의하면 서울대 공대 입학생이 미적분도 제대로 모른다고 했던가? 그건 그 학생들뿐 아니라 우리나라 수학과 교수의 논문을 영미의 교수가 보면 그 실력수준이 미적분도 잘 모르는 고등학교 수준이 아닐까? 컴퓨터 공학도 그렇고 물리학은 더 심할지도 모른다. 전에는 그들 일부 교수는 고등학교 교사를 하다가 야간에 또는 국내서 적절히 박사학위를 한 사람이 많았고 지금도  그런 교수가 많지 않을까 한다. 내가 좋아하는 사람은 아니지만 친노계열 어떤 교육부장관이 나이 든 교사를 대거 퇴출시킨 일이 있었다. 대학도 그런 퇴출이 필요한 게 우리 대학의 현실이다. 다만 나이로 그럴게 아니라 논문의 질을 미국 등의 교수에 심사를 맡겨 그렇게 봄이 좀 어떨까 한다. 우리나라의 창피를 드러내겠지만 그렇게 하면 좋다 학교의 질이 개선될 것이라서 하는 말이다. 그게 힘들면, 신임교수의 채용, 그들의 정년보장, 연봉협상 및 승진을 위한 논문심사에서만이라도 미국 교수에게 맡기면 어떨까?

(2) 우리나라의 수학교육을 위한 개선 방법

이상으로 불평 같이 들리는 한탄을 중지하고 이런 현실을 타파할 대책을 쓸 것이다.(나중에)